Question

如圖，在等邊△ABC中，點D為AC上一點，連結AB，BD，BC分別相交于點E，P，F，且∠BPF=60°
（1）寫出圖中所有與△BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；
（2）探究：當BD什么條件時（其它條件不變），PF=

1

2

PE？請寫出探究結果，并說明理由．（說明：結論中不得含有未標識的字母）

Answer 1

分析：（1）△BPF∽△EBF與△BPF∽△BCD這兩組三角形都可由一個公共角和一組60°角來證得．
（2）先看PF=

1

2

PE能得出什么結論．根據△BPF∽△EBF，可得BF²=PF•EF=3PF²，因此BF=

3

PF，且∠BPF=60°，∵∠PFB=90°，∴∠PBF=90-60=30°，因此當BD平分∠ABC時，PF=

1

2

PE．

解答：（1）答：△BPF∽△EBF與△BPF∽△BCD．
以△BPF∽△EBF為例，
證明：∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF；

（2）答：BD平分∠ABC時，PF=

1

2

PE．
證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=

1

2

PB．
又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP，
∴BP=EP，
∴PF=

1

2

PE．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質、直角三角形的判定和性質等知識點．