Question

如圖，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圓，∠ADE=90°，延長(zhǎng)ED到C使DC=AD，以AD，DC為鄰邊作正方形ABCD，連接AC，連接BE交AC于點(diǎn)H．求證：

（1）AC是⊙O的切線．
（2）HC=2AH．

Answer 1

（1）根據(jù)圓周角定理由∠ADE=90°得AE為⊙O的直徑，再根據(jù)等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根據(jù)正方形得到∠DAC=45°，則∠EAC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論。
（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，則AH：CH=AB：ED，根據(jù)等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)易得EC=2AB，則AH：CH=1：2

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由∠ADE=90°得AE為⊙O的直徑，再根據(jù)等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根據(jù)正方形得到∠DAC=45°，則∠EAC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論。
（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，則AH：CH=AB：ED，根據(jù)等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)易得EC=2AB，則AH：CH=1：2。
證明：（1）∵∠ADE=90°，∴AE為⊙O的直徑。
∵△ADE為等腰直角三角形，∴∠EAD=45°。
∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DAC=45°。
∴∠EAC=45°+45°=90°。∴AC⊥AE。
∵AE是⊙O的直徑，∴AC是⊙O的切線。
（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD。
∴△ABH∽△CEH。∴AH：CH=AB：ED。
∵△ADE為等腰直角三角形，∴AD=ED。
又∵AD=AB=DC，∴EC=2AB。
∴AH：CH=1：2，即HC=2AH。