Question

在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，等邊三角形OAB的一個頂點為A（2，0），另一個頂點B在第一象限內．
（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；
（2）如果一個四邊形是以它的一條對角線為對稱軸的軸對稱圖形，那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”．點Q在（1）的拋物線上，且以O、A、B、Q為頂點的四邊形是“箏形”，求點Q的坐標；
（3）設△OAB的外接圓⊙M，試判斷（2）中的點Q與⊙M的位置關系，并通過計算說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出點B，則設拋物線的頂點式，將點A代入即得到方程式；
（2）（ⅰ）當以OA、OB為邊時，作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，從而求得點Q．（ⅱ）當以OA、AB為邊時，由對稱性求得Q．（ⅲ）當以OB、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點Q使BOQA為箏形．求得點Q．
（3）點Q在⊙M內．由等邊三角形性質可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點，求得△OMC∽△OQD．從而求得點M，進而求得MQ，從而求得點Q的位置．

解答：解：（1）過B作BC⊥x軸于C．
∵等邊三角形OAB的一個頂點為A（2，0），
∴OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°．
∴BC=OCtan60°=

3

．
∴B(1，

3

)．
設經過O、A、B三點的拋物線的
解析式為：y=a(x-1)2+

3

．
將A（2，0）代入得：a(2-1)2+

3

=0，
解得a=-

3

．
∴經過O、A、B三點的拋物線的解析式為y=-

3

(x-1)2+

3

．
即y=-

3

x2+2

3

x；

（2）依題意分為三種情況：
（ⅰ）當以OA、OB為邊時，
∵OA=OB，
∴過O作OQ⊥AB交拋物線于Q．
則四邊形OAQB是箏形，且∠QOA=30°．
作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，
設Q(x，-

3

x2+2

3

x)，則-

3

x2+2

3

x=xtan30°．
解得：x=

5

3

．
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)．
（ⅱ）當以OA、AB為邊時，由對稱性可知Q(

1

3

，

5 3

9

)．
（ⅲ）當以OB、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點Q使BOQA為箏形．
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)或(

1

3

，

5 3

9

)．

（3）點Q在⊙M內．
由等邊三角形性質可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點，
當Q(

5

3

，

5 3

9

)時，
∵MC∥QD，
∴△OMC∽△OQD．
∴

MC

QD

=

OC

OD

．
∴MC=

OC•QD

OD

=

3

3

．
∴M(1，

3

3

)．
∴MQ=

(1- 5 3 )2+( 3 3 - 5 3 9 )2

=

4 3

9

．
又BM=

2 3

3

，
∵

4 3

9

＜

2 3

3

，
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)在⊙M內．
當Q(

5

3

，

5 3

9

)時，由對稱性可知點Q在⊙M內．
綜述，點Q在⊙M內．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，（1）先求出點B，則設拋物線的頂點式，將點A代入即得到方程式；（2）（ⅰ）當以OA、OB為邊時，作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，從而求得點Q．（ⅱ）當以OA、AB為邊時，由對稱性求得Q．（ⅲ）當以OB、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點Q使BOQA為箏形．求得點Q．（3）點Q在⊙M內．由等邊三角形性質可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點，求得△OMC∽△OQD．從而求得點M，進而求得MQ，從而求得點Q的位置．本題有一定難度，思路性強．