Question

如圖，拋物線與x軸相交于點A（-4，0），B（-2，0），直線AC過拋物線上的點C（-1，3）．
（1）求此拋物線和直線AC的解析式；
（2）設拋物線的頂點是D，直線AC與拋物線的對稱軸相交于點E，點F是直線DE上的一個動點，求FB+FC的最小值；
（3）若點P在直線AC上，問在平面上是否存在點Q，使得以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設交點式y=a（x+4）（x+2）．
（2）點B的關于直線DE對稱點是點A，連AC交DE，交點就是F點．
（3）首先要分類，若AB為對角線，利用菱形對角線相互垂直平分，若AB為邊，四邊都等于2．

解答：解：（1）設該拋物線的解析式是y=a（x+4）（x+2）
把C（-1，3）代入得，
a=1．
∴該拋物線的解析式是y=x²+6x+8
設直線AC的解析式是y=kx+b
把A（-4，0），C（-1，3）代入得，

-4k+b=0 -k+b=3

解得

k=1 b=4

∴直線AC的解析式是y=x+4（4分）

（2）∵點A、B關于直線DE對稱，
∴FB=FA（6分）
∴FB+FC=FA+FC
當點F與點E重合時，FB+FC最小，最小值是3

2

（8分）

（3）當AB為菱形的對角線時，
菱形的另外兩個頂點在線段AB的中垂線上，
而點P又在直線AC上，
∴點P的坐標是P（-3，1）
∴Q₁（-3，-1）（9分）
當AB為菱形的一邊時，
①當AP=2時，點P是以A為圓心，2為半徑的圓與直線AC的交點．
∴點P的坐標是(

2

-4，

2

)或(-

2

-4，-

2

)
∴Q2(

2

-2，

2

)，Q3(-

2

-2，-

2

)（11分）
②當BP=2時，點P是以B為圓心，2為半徑的圓與直線AC的交點．
∴點P的坐標是（-2，2）
∴Q₄（-4，2）
∴在平面上存在點Q₁（-3，-1），Q2(

2

-2，

2

)，Q3(-

2

-2，-

2

)，Q₄（-4，2），使得以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形．（12分）

點評：①合理選擇拋物線的解析式．②求直線上一點到直線外同旁兩點的距離之和最小的問題要轉化為兩點之間線段最短來解決．③此類問題要分類討論，利用圖形的幾何性質解決．