Question

（2007•西城區一模）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為BC邊上的任意一點（可與點B或C重合），分別過B、D作AP的垂線段，垂足分別是B₁、D₁．猜想：(DD1)2+(BB1)2的值，并對你的猜想加以證明．

Answer 1

分析：首先根據四邊形ABCD是正方形，得出AD=AB，再根據∠DD₁A=∠AB₁B=90°，得出∠DAD₁=∠ABB₁，從而證出△ADD₁≌△BAB₁，AD₁=BB₁，最后再根據 (DD1)2+(BB1)2=(DD1)2+(AD1)2=AD²，即可求出答案．

解答：解：猜想：(DD1)2+(BB1)2的值是1；
證明如下：在△ADD₁和△ABB₁中
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵AD₁⊥DD₁，BB₁⊥AB₁，
∴∠DD₁A=∠AB₁B=90°，
∵∠DAD₁+∠B₁AB=∠B₁AB+∠ABB₁，
∴∠DAD₁=∠ABB₁，
∴△ADD₁≌△BAB₁，
∴AD₁=BB₁，
∵(DD1)2+(BB1)2=(DD1)2+(AD1)2=AD²=1，
∴(DD1)2+(BB1)2=1；

點評：此題考查了正方形的性質與直角三角形的性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意等量代換知識的應用．