Question

【題目】如圖，等邊△ABC，作它的外接圓⊙O，連接AO并延長交⊙O于點D，交BC于點E，過點D作DF∥BC，交AC的延長線于點F．

（1）依題意補全圖形并證明：DF與⊙O相切；

（2）若AB＝6，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）根據題意補全圖形，證明∠AEC＝90°，，進而證明∠ADF＝90°，問題得證；

（2）連接，根據等邊三角形的性質和直徑所對圓周角是直角先求出DC，再根據30°直角三角形性質即可求出的長．

解：（1）如圖，

依題意補全圖形．

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，

∴，

∵AD過圓心O，

∴∠AEC＝90°，

∵DF∥BC，

∴∠ADF＝90°，

∴DF與⊙O相切．

（2）解：連接DC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC＝6，

∠BAC＝60°，

∵AD⊥BC，

∴∠DAC＝30°，

∵∠ADF＝90°，

∴∠F=60°，

∵AD是直徑，

∴∠ACD＝90°，

∴，

∵∠DCF＝90°，∠F＝60°，

∴．