Question

如圖，BD是⊙O的直徑， A、C是⊙O上的兩點，且AB=AC，AD與BC的延長線交于點E.
（1）求證：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的長.

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，
∴.
∴∠ABC=∠ADB.                  
又∠BAE=∠DAB，
∴ △ABD∽△AEB.       
（2）解：∵△ABD∽△AEB，
∴.
∵ AD=1， DE=3，
∴AE=4.   
∴ AB²=AD·AE=1×4=4.
∴ AB="2."
∵ BD是⊙O的直徑，
∴∠DAB=90°.
在Rt△ABD中，BD²=AB²＋AD²=2²＋1²=5，
∴BD=.

（1）結合已知條件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出結論；
（2）由（1）的結論就可以推出AB的長度，規矩勾股定理即可推出BD的長度．