Question

【題目】如圖，D為等邊△ABC的邊AC上一點，E為直線AB上一點，CD=BE．

(1)如圖1，求證；AD=DE；

(2)如圖2，DE交CB于點P．

①若DE⊥AC，PC=6，求BP的長；

②猜想PD與PE之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①BP=3；②PD=PE，理由見解析.

【解析】

（1）只要證明△ADE是等邊三角形即可；
（2）①利用直角三角形30度角性質即可解決問題；②過點D作DQ∥AB交BC于點Q，只要證明△CDQ是等邊三角形，△DQP≌△EBP（AAS）即可解決問題．

(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠A=60°，

∵CD=BE，

∴AB-BE=AC-CD，即AD=AE，

∵∠A=60°，

∴△ADE是等邊三角形．

∴AD=DE．

(2)①∵DE⊥AC，∠A=60°，

∴∠E=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠E=∠BPE=30°=∠CPD，

∴BP=BE，CD=PC=3，

∵CD=BE，

∴BP=BE=3．

②PD=PE，理由如下：

如圖2，過點D作DQ∥AB，交BC于點Q，

∴∠CDQ=∠A=60°，∠CQD=∠ABC=60°，∠DQP=∠EBP，

∴△DCQ是等邊三角形，

∴DQ=CD=BE．

∵∠DPQ=∠EPB，∠DQP=∠EBP，

∴△DQP≌△EBP，

∴PD=PE．