Question

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一個動點．
（1）直接寫出AD=_____，AC=_______，BC=_______，四邊形ABCD的面積=______；
（2）當點P在運動過程中出現PD＝BC時，求此時∠PDA的度數；
（3）當點P運動到什么位置時，以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上？求出此時□DPBQ的面積．

Answer 1

（1），，，；（2）75°；（3），

試題分析：（1）根據特殊的直角三角形的性質及直角三角形的面積公式求解即可；
（2）當P點位置如圖（2）所示時，根據（1）中結論，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，即可得到＝，則∠PDF＝30°，即可求得∠PDA的度數，當P點位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠PDF＝30°，即可求得結果；
（3）在□DPBQ中，BC∥DP，由∠ACB＝90°可得DP⊥AC．根據（1）中結論可知，DP＝CP＝，再根據平行四邊形的面積公式求解即可.
（1）AD=，AC=，BC=，四邊形ABCD的面積=；

（2）當P點位置如圖（2）所示時，根據（1）中結論，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，
∴＝，
∴∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°
當P點位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°；

（3）CP＝．
在□DPBQ中，BC∥DP，
∵∠ACB＝90°，
∴DP⊥AC．
根據（1）中結論可知，DP＝CP＝，
∴S_□DPBQ＝＝．
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.