Question

【題目】如圖,H是△ABC的高AD,BE的交點,且DH=DC,則下列結論:①BD=AD;②BC=AC;③BH=AC;④CE=CD中,正確的有( )

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠AEH=∠ADB=90°
∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE
∴∠HBD=∠EAH
又∵DH=DC
∴△BDH≌△ADC（AAS）
∴BD=AD，BH=AC ；從而得出①③符合題意；
②：∵BC=AC
∴∠BAC=∠ABC
∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD
∴∠ABC=45°
∴∠BAC=45°
∴∠ACB=90°
∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°
②不符合題意；
解④：∵CE=CD ，∠ACB=∠ACB，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△BEC≌△ADC
由于缺乏條件，無法證得△BEC≌△ADC
④不符合題意；
故應選：B．
根據垂直的定義得出∠AEH=∠ADB=90°，根據等頂角相等及等角的余角相等得出∠HBD=∠EAH，又DH=DC，從而利用AAS判斷出△BDH≌△ADC，根據全等三角形對應邊相等得出BD=AD，BH=AC ；根據等邊對等角得出∠BAC=∠ABC，由等腰直角三角形的性質得出∠ABC=45°，根據等量代換得出∠BAC=45°，根據三角形的內角和得出∠ACB=90°，又∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，從而得出②不符合題意；由于缺乏條件，無法證得△BEC≌△ADC，而要得出CE=CD，必須△BEC≌△ADC，故④不符合題意。