Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=∠ABC,點P在AB上,如果AD⊥CP,BE⊥CP的延長線,垂足分別為D,E,且BE=CD.

（1）試探求這個圖形中還有哪些相等的線段,并給出證明;
（2）試確定△ABC的形狀.

Answer 1

【答案】
（1）解:圖中相等的線段還有AC=BC,CE=AD.
證明:∵∠BAC=∠ABC,
∴AC=BC.
∵AD⊥CP,BE⊥CP,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∵BE=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△CAD(HL).
∴CE=AD 。
（2）解：△ABC為等腰直角三角形，理由如下 ：
∵△BCE≌△CAD,
∴∠EBC=∠ACD.
∵∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,即∠ACB=90°.
又AC=BC ，
∴△ABC為等腰直角三角形 。
【解析】 （1）:圖中相等的線段還有AC=BC,CE=AD. 根據等角對等邊得出AC=BC，根據垂直的定義得出∠ADC=∠BEC=90°，然后利用HL判斷出Rt△BCE≌Rt△CAD ，根據全等三角形對應邊相等得出CE=AD ；
（2）△ABC為等腰直角三角形，理由如下 ：根據全等三角形對應角相等得出∠EBC=∠ACD ，根據直角三角形兩銳角互余得出∠EBC+∠BCE=90°,根據等量代換得出∠ACD+∠BCE=90°,即∠ACB=90°，又AC=BC ，從而得出結論△ABC為等腰直角三角形 。