Question

(25分)已知(x+)(y+)=1.求證:x+y=0.

Answer 1

用反證法證明.
(1)先證x=0時y=0，或y=0時x=0.如若不然，假設x=0時，y>0.則
(x+)(y+)= (y+1)>1，與已知矛盾.
當x=0，y<0時，又有
(x+)(y+)=  (y+1)<  (1+y)=(1-y)(1+y)=1-y²<1，
與已知矛盾.
故x=0時，y="0." 同理，y=0時，x=0.
(2)再證x≠0，y≠0時，x+y=0.為此先證xy<0.
如若不然，則x>0，y>0或x<0，y<0.
當x>0，y>0時，(x+)(y+)>1，與已知矛盾.
當x<0，y<0時，(x+)(y+)=
=≤
.但(-x>1，-y>1，則<1，
與已知矛盾.從而，xy<0.
以下分兩種情形討論.
(i)若x+y>0，由于原式關于x、y對稱，不妨設x>0，y<0.則x>-y，x2>y2，
有(x+)(y+)>( -y)( +y)=1，與已知矛盾.
同理，當x<0，y>0時，也與已知矛盾.
(ii)若x+y<0，不妨設x>0，y<0.
則x<-y，x²<y²，有(x+)(y+)<(-y)( +y)=1，
與已知矛盾.
由(i)、(ii)知，x+y>0和x+y<0均不成立.
因此，x+y=0.
綜上知x+y=0.

略