Question

【題目】已知拋物線交x軸于A，B兩點（A在B右邊），A（3，0），B（1，0）交y軸于C點，C（0，3），連接AC；

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上的一點，作PE⊥CA于E點，且CE=3PE，求P點坐標；

（3）將原拋物線向上平移1個單位拋物線的對稱軸交x軸于H點，過H作直線MH，NH，當MH⊥NH時，求MN恒過的定點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）或（，）；（3）MN恒過的定點（2，1）

【解析】

（1）用待定系數解答便可；

（2）分兩種情況：P點AC的上方，點P在AC的下方．過點P作PD⊥x軸于點D，過E作EF⊥y軸于F，與PD交于點G，證明EF=3EG，設EG=m，用m的代數式表示P點的橫縱坐標，再代入二次函數解析式，便可求得m的值，進而得P點的坐標；

（3）過M作MK⊥x軸于點K，過點N作NL⊥x軸于點L，先求出H點的坐標與新拋物線的解析式，設出M、N的坐標，得出兩坐標的聯系，表示出MN的解析式，再代入定點（2，1）的坐標進行驗證便可得解．

（1）∵拋物線過A（3，0），B（1，0），

∴可設拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），

把c（0，3）代入，得3a=3，

∴a=1，

∴拋物線的解析式是y=（x﹣3）（x﹣1）=x2﹣4x+3，

即y=x2﹣4x+3；

（2）當P點在AC上方時，過點P作PD⊥x軸于點D，過E作EF⊥y軸于F，延長FE與PD交于點G，如圖1，

∵A（3，0），C（0，3），

∴OA=OC=3，

∴∠OAC=45°，

∵FG∥OA，

∴∠CEF=45°，

∴CF=EF=CE，

∵PE⊥CA，

∴∠PEG=45°，

∴PG=EG=PE，

∵CE=3PE，

∴EF=3FG，

設EF=3m，則PG=EG=m，FG=4m，

∴DG=OF=OC﹣CF=3﹣3m，

PD=PG+DG=3﹣2m，

∴P（4m，3﹣2m），

把P（4m，3﹣2m）代入y=x2﹣4x+3中得，

3﹣2m=16m2﹣16m+3，

∴m=，或m=0（舍去），

∴P（，）；

當P點AC下方時，如圖2，過點P作PD⊥x軸于點D，過E作EF⊥y軸于F，延長FE與PD交于點G，

∵A（3，0），C（0，3），

∴OA=OC=3，

∴∠OAC=45°，

∵FE∥OA，

∴∠CEF=45°，

∴CF=EF=CE，

∵PE⊥CA，

∴∠PEG=45°，

∴PG=EG=PE，

∵CE=3PE，

∴EF=3FG，

設EF=3m，則PG=EG=m，EG=2m，

∴DG=OF=OC﹣CF=3﹣3m，

PD=PG﹣DG=4m﹣3，

∴P（2m，3﹣4m），

把P（2m，3﹣4m）代入y=x2﹣4x+3中得，

3﹣4m=4m2﹣8m+3，

∴m=1，或m=0（舍去），

∴P（2，﹣1）；

綜上，P點的坐標為（2，﹣1）或（，）；

（3）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線y=x2﹣4x+3的頂點為（2，﹣1），

∵將原拋物線向上平移1個單位拋物線的對稱軸交x軸于H點，

∴H（2，0），

由題意知，點H是新拋物線的頂點，

∴新拋物線的解析式為y=（x﹣2）2，

設M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），

過M作MK⊥x軸于點K，過點N作NL⊥x軸于點L，如圖3，

則MK=（m﹣2）2，KH=2﹣m，HL=n﹣2，NL=（n﹣2）2，

∵MH⊥NH，

∴∠MHK+∠HMK=∠MHK+∠NHL=90°，

∴∠HMK=∠NHL，

∵∠MKH=∠HLN=90°，

∴△KHM∽△LNH，

∴，

，

∴，

∴，

設直線MN的解析式為：y=kx+b（k≠0），則，

∴，

∴直線MN的解析式為：，

當x=2時，=（m-2）2﹣（m2﹣4m+3）

=m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3=1，

∴MN恒過的定點（2，1）．