Question

【題目】對于一個三角形，設其三個內角的度數分別為x°、y°和z°，若x、y、z滿足x2+y2＝z2，我們定義這個三角形為美好三角形．

（1）△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝80°，則△ABC　 　（填“是”或“不是”）美好三角形；

（2）如圖，銳角△ABC是⊙O的內接三角形，∠C＝60°，AC＝2，⊙O的直徑是2，求證：△ABC是美好三角形；

（3）已知△ABC是美好三角形，∠A＝30°，求∠C的度數．

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）見解析；（3）∠C＝78°或72°.

【解析】

（1）利用美好三角形的定義得出△ABC的形狀進而求出即可；

（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形狀進而得出答案；

（3）利用美好三角形的定義進而分別得出∠C的度數．

（1）∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，

∴∠C＝60°

∵402+602≠802，

∴△ABC不是美好三角形；

故答案為：不是；

（2）證明：連接OA、OC，

∵AC＝2，OA＝OC＝，

∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°，

∴∠B＝45°，

∵∠C＝60°，

∴∠A＝75°，

∵即三個內角滿足關系：452+602＝5625＝752，

∴△ABC是美好三角形；

（3）設∠C＝x°，則∠B＝（150﹣x）°，

若∠C為最大角，則x2＝（150﹣x）2+302，

解得x＝78，

若∠B最大角，則（150﹣x）2＝x2+302，

解得x＝72，

綜上可知，∠C＝78°或72°