Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣++2與x軸相交于A，B兩點，（點A在B點左側）與y軸交于點C．

（1）求A，B兩點坐標．

（2）連結AC，若點P在第一象限的拋物線上，P的橫坐標為t，四邊形ABPC的面積為S．試用含t的式子表示S，并求t為何值時，S最大．

（3）在（2）的基礎上，在整條拋物線上和對稱軸上是否分別存在點G和點H，使以A，G，H，P四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出G，H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣，0），B（2，0）；（2）當t=時，S最大=4；（3）滿足條件的點P的坐標為G（﹣，﹣），H（，﹣）或G（，﹣），H（，﹣）或G（﹣，），H（，）．

【解析】

（1）令y=0，則解得或，即可求出A，B兩點坐標．

（2）點P作PQ⊥x軸于Q，P的橫坐標為t，設P（t，p），則， 根據S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB列出S與t的函數關系式，根據二次函數的性質t為何值時，S最大．

（3）拋物線的對稱軸為：分別畫出示意圖，根據平行四邊形的性質即可求出G，H的坐標.

解：（1）針對于拋物線，

令y=0，則

解得或

∴

（2）針對于拋物線

令x=0，

∴y=2，

∴C（0，2），

如圖1，點P作PQ⊥x軸于Q，

∵P的橫坐標為t，

∴設P（t，p），

∴，

∴S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB

，

∴當時，S最大

（3）滿足條件的點的坐標為G（﹣，﹣），H（，﹣）或G（，﹣），H（，﹣）或G（﹣，），H（，）．