Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交C點，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（﹣3，0），點C的坐標為（0，3），

（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點H，使CH+AH的值最小，求出點H的坐標；

（3）在拋物線上存在點P，滿足S△AOP=5，

請求出點P的坐標；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）（﹣，）；（3）P點坐標為（，﹣5）或（，﹣5）；

【解析】

（1）設交點式y=a（x-2）（x+3），然后把C點坐標代入求出a即可；

（2）如圖1，先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=x+3，再確定拋物線的對稱軸方程，設直線BC與直線x=-相交于點H，根據拋物線的對稱性得HB=HA，根據兩點之間線段最短可判定此時HA+HC的值最小，從而得到此時點H的坐標；

（3）如圖1，設P（x，-x2-x+3），利用三角形面積公式得∴2|-x2-x+3|=5，然后解兩個一元二次方程可求出滿足條件的P點坐標；

（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+3），

把C（0，3）代入得a（﹣2）3=3，解得a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）（x+3），

即y=﹣x2-x+3；

（2）如圖1，設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=x+3，

拋物線的對稱軸為直線x=﹣=﹣，

直線BC與直線x=﹣相交于點H，則HB=HA，

∵HA+HC=HB+HC=BC，

∴此時HA+HC的值最小，點H的坐標為（﹣，）；

（3）如圖1，設P（x，﹣x2﹣x+3），

∵S△AOP=5，

∴2|﹣x2﹣x+3|=5，

∴﹣x2﹣x+3=5或﹣x2﹣x+3=﹣5，

方程﹣x2﹣x+3=5沒有實數解；

解方程﹣x2﹣x+3=﹣5得x1=，x2=，

∴P點坐標為（，﹣5）或（，﹣5）；