Question

【題目】已知，如圖△ABC和△CDE均為等邊三角形，B、C、D三點在同一條直線上，連接線段BE、AD交于點F，連接CF，

（1）求證：∠FBC=∠FAC.

（2）求∠BFC的度數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFC=60°.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得∠ECD=∠ABC=60°，AC=BC，CD=CE，利用角的和差關系可得∠ACD=∠BCE，利用SAS可證明△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質即可得答案；（2）作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，由∠ACB=∠EDC=60°可得AC//ED，根據平行線的性質可得∠CAD=∠ADE，利用等量代換可得∠EBD=∠ADE，根據三角形外角性質可得∠EFD=∠EBD+∠BDF=∠ADE+∠BDF=∠BDE=60°，根據平角的定義可得∠BFD=120°，由（1）得△ACD≌△BCE，根據全等三角形對應邊上的高對應相等可得CG=CH，根據角平分線的性質可得CF是∠BFD的角平分線，即可求出∠BFC的度數.

（1）∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，

∴AC=BC，∠ACB=∠ECD=60°，CD=CE，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠EBC=∠DAC，即∠FBC=∠FAC.

（2）∵∠ACB=∠EDC=60°，

∴AC//DE，

∴∠CAD=∠ADE，

∵∠CAD=∠EBD,

∴∠EBD=∠ADE，

∴∠EFD=∠EBD+∠BDF=∠ADE+∠BDF=∠EDB=60°，

∴∠BFD=180°-∠EFD=120°，

∵△ACD≌△BCE，CG、CH分別是對應邊BE、AD的高，

∴CG=CH，

∴CF是∠BFD的角平分線，

∴∠BFC=∠BFD=60°.