Question

如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=8，BD=6．現有兩動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，點P以每秒1個單位長的速度由點A向點D做勻速運動，點Q沿折線CB-BA向點A做勻速運動．
（1）菱形ABCD的邊長為______；
（2）若點Q的速度為每秒2個單位長，設運動時間為t秒．
①求△APQ的面積S關于t的函數關系式；
②當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
（3）若點Q的速度為每秒a個單位長（a≤），當t=4秒時，△APQ是等腰三角形，請直接寫出a的值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB===5；

（2）①當0＜t≤時，由題意，得AP=t，點Q在BC上運動，
如圖1，過點B作BE⊥AD，垂足為E，
∵AC=8，BD=6，
∴AD•BE=AC•BD，
由題意可得BE=，
∴S=AP•BE，即S=t；
②當≤t＜5時，點Q在BA上運動，
由題意，得AP=t，AQ=10-2t．
如圖2，過點Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE，
∴△AQG∽△ABE，
∴=，
∴QG=-，
∴S=AP•QG，
即S=-t²+t（）（≤t＜5）．
當0≤t＜時，S=t•4
當t=時，S的最大值為6；
當≤t＜5時，S=-t²+t，即S=-（t-）²+6．
∴當t=時，S的最大值為6．
綜上所述，當t=時，S有最大值，最大值為6．

（3）a=．
∵a≤，
∴點Q在CB上，
由題意可知PQ≥BE＞PA，
∴當QA=QP時，△APQ是等腰三角形．
如圖3，過點Q作QM⊥AP，垂足為點M，QM交AC于點F，
則AM=AP=2．由△AMF∽△AOD∽△CQF，
得===，
∴FM=，
∴QF=MQ-FM=，
∴CQ==．
則=，
∴a==．

分析：（1）根據菱形的性質可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，再根據勾股定理即可求出菱形的邊長；
（2）①當0＜t≤時，由題意，得AP=t，點Q在BC上運動，過點B作BE⊥AD，垂足為E，由直角三角形的性質求出BE的長，由三角形的面積公式可得到S與t的關系式；
②當≤t＜5時，點Q在BA上運動，由題意，得AP=t，AQ=10-2t，過點Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的對應邊成比例即可得出S關于t的關系式，再根據二次函數的最值問題進行解答即可；
（3）先判斷出等腰三角形的兩腰長，過點Q作QM⊥AP，垂足為點M，QM交AC于點F，根據△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，進而可得出a的值．
點評：本題考查的是相似三角形的性質、菱形的性質、二次函數的最值及等腰三角形的性質，根據題意作出輔助線，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．