Question

已知拋物線y=-（x+2）²+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，C點在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）在平面直角坐標系內畫出拋物線的大致圖象并標明頂點坐標；
（3）連AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），過E作EF∥AC交BC于F，連CE，設AE=m，△CEF的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎上說明S是否存在最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）方程x²-10x+16=0的兩根為x₁=8，x₂=2，
∴OB=2，OC=8，
∴B（2，0）C（0，8）
∵函數y=-（x+2）²+k的對稱軸為x=-2，
∴A（-6，0），
即A（-6，0）B（2，0）C（0，8）．

（2）B點在y=-（x+2）²+k上，
∴0=-（2+2）²+k，
∴k=．
函數解析式為y=-（x+2）²+，
頂點坐標為-2，），大致圖象及頂點坐標如右．

（3）∵AE=m，AB=8，
∴BE=8-m，
∵OC=8，OA=6，據勾股定理得AC=10，
∵AC∥EF，
∴即，EF=，
過F作FG⊥AB于G，
∵sin∠CAB=sin∠FEB=，
而sin∠FEB=，
∴FG=8-m． 12分
∵S=S_△CEB-S_△FEB=×BE×OC-×BE×FG=-m²+4m，
∴S與m的函數關系式為S=-m²+4m，m的取值為0＜m＜8．

（4）∵S=-m²+4m中-，
∴S有最大值．
S=-（m-4）²+8，當m=4時，S有最大值為8，
E點坐標為：E（-2，0），
∵B（2，0），E（-2-，0），
∴CE=CB
∴△BCE為等腰三角形．
分析：（1）根據方程的兩個根及函數的對稱軸，易求A，B，C三點坐標；
（2）求出函數解析式，根據定點畫出平滑的曲線；
（3）由勾股定理求出AC的長，由三角形內的平行關系，得到一個比例關系，從而求出EF，作輔助線把△CEF的面積用m表示出來，再求出其最值，并求出頂點坐標，也解決了第三問．
點評：此題考查拋物線性質及對稱軸，因圖形很特殊，把具體問題轉化到直角三角形中來解，注意直線平行的應用，最后把求面積最值轉化到求函數最值問題，要學會這種做題思想．