Question

【題目】知識儲備

如圖①，點E、F分別是y＝3和y＝﹣1上的動點，則EF的最小值是　 ；

方法儲備

直角坐標系的建立，在代數和幾何之間架起了一座橋梁，用代數的方法解決幾何問題：某數學小組在自主學習時了解了三角形的中位線及相關的定理，在學習了《坐標與位置）后，該小組同學深入思考，利用中點坐標公式，給出了三角形中位線定理的一種證明方法．如圖②，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC邊的中點，DE稱為△ABC的中位線，則DE∥BC且DE＝BC．該數學小組建立如圖③的直角坐標系，設點A（a，b），點C （0，c）（c＞0）．請你利用該數學學習小組的思路證明DE∥BC且DE＝BC．（提示：中點坐標公式，A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B中點坐標為（，）．

綜合應用

結合上述知識和方法解決問題，如圖④，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，延長AC至點 D．DE⊥AD，連接EC并延長交AB邊于點F．若2CD+DE＝6，則EF是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】知識儲備： 4；方法儲備：見解析；綜合應用：EF存在最小值，最小值為．

【解析】

知識儲備：根據垂線段最短，平行線之間的距離解決問題即可．

方法儲備：如圖③中，設，．利用中點坐標公式求解即可．

綜合運用：建立如圖平面直角坐標系，設，則．求出點的運動軌跡，轉化為知識儲備的類型即可解決問題．

解：知識儲備：如圖①，點、分別是和上的動點，則的最小值是，

故答案為4；

方法儲備：如圖③中，設，．

，，

，，，，

，

，

，

；

綜合應用：建立如圖平面直角坐標系，設，則．

，

，

點的運動軌跡是直線，設這條直線與軸交于，由軸交于．

，，

直線的解析式為，

，

根據垂線段最短可知，當時，長最小，

作于，交于．

，，

，

，

直線與直線關于原點對稱，

根據對稱性可知，

的最小值．