Question

已知：如圖△ABC中，∠A的平分線AD交BC于D，⊙O過點A，且與BC相切于D，與AB、AC分別相交于E、F，AD與EF相交于G．
（1）求證：AF•FC=GF•DC；
（2）已知AC=6cm，DC=2cm，求FC、GF的長．

Answer 1

（1）證明：連接DF，
∵AD是△ABC的角平分線，BC是⊙O的切線，∠CDF=∠EFD=∠DAC=∠EAD，
∴EF∥BC．
∴∠C=∠AFE．
∴△AFG∽△DCF，
∴

AF

DC

=

GF

CF

，
即AF•FC=GF•DC；

（2）∵BC是⊙O的切線，
∴CD²=CF•AC，
∵AC=6cm，DC=2cm，
∴CF=

2

3

，
∴AF=AC-CF=

16

3

∵△AFG∽△DCF，
∴

AF

DC

=

GF

CF

，
∴

16 3

2

=

GF

2 3

，
∴GF=

16

9

．