Question

【題目】 我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個三角形給出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展開式的系數規律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中各項的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中各項的系數，等等．

有如下四個結論：

①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

②當a=-2，b=1時，代數式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；

③當代數式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0時，一定是a=-1，b=1；

④（a+b）n的展開式中的各項系數之和為2n．

上述結論中，正確的有______（寫出序號即可）．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根據題中舉例說明，明確楊輝三角的與的展開式的系數間的對應關系，據此逐項分析．

解：∵在楊輝三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著展開式中各項的系數，等等

∴在楊輝三角形中第行的個數，對應展開式中各項的系數，

①∵展開式中各項的系數，為楊輝三角形中第6行的6個數，

∴；

②∵各項系數對應楊輝三角中的第4行的4個數，

∴，

當時，代數式=；

③∵各項系數對應楊輝三角中的第5行的5個數，

∴，

當代數式時，，不一定是；

④∵當時，展開式各項之和便是系數之和，

∴的展開式中的各項系數之和為，

故答案為：①②．