Question

矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6，0)、C(0，3)，直線與BC邊相交于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若拋物線經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，試確定此拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線的對稱軸與直線AD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，求符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3);
(2) 拋物線的解析式為;
(3) 符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，P₁ (3，0)、P₂ (3，-4).

試題分析：（1）有題目所給信息可以知道，BC線上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3，又有D在直線上，代入后求解可以得出答案．
（2）A、D，兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，把它們代入二次函數(shù)解析式中，得出兩個(gè)二元一次方程，聯(lián)立求解可以得出答案．
（3）由題目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，所以應(yīng)有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明顯∠AMP不可能等于90°，所以有兩種情況．
解：(1) ∵四邊形OABC為矩形，C(0,3)
∴BC∥OA，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3.
∵直線與BC邊相交于點(diǎn)D，
∴. ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3).
(2) ∵若拋物線經(jīng)過A(6,0)、D(2,3)兩點(diǎn)，
∴
解得：∴拋物線的解析式為
(3) ∵拋物線的對稱軸為x=3，
設(shè)對稱軸x=3與x軸交于點(diǎn)P₁，∴BA∥MP₁，
∴∠BAD=∠AMP₁.

①∵∠AP₁M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP₁.
∴P₁ (3，0).
②當(dāng)∠MAP₂=∠ABD=90°時(shí)，△ABD∽△MAP_2.
∴∠AP₂M=∠ADB
∵AP₁=AB，∠AP₁ P₂=∠ABD=90°
∴△AP₁ P₂≌△ABD
∴P₁ P₂=BD=4
∵點(diǎn)P₂在第四象限，∴P₂ (3，-4). 
∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，P₁ (3，0)、P₂ (3，-4).