Question

在圖中△ABC的外部任取一點P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點D、E、F，連接DE、EF、DF．
（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？
（2）如果△ABC的周長為24，求△DEF的周長．

Answer 1

分析：（1）相似，利用三角形的中位線定理，可以得到兩個三角形的對應邊的比相等，根據三邊的比對應相等的三角形相似即可證得；
（2）兩個三角形相似，且已知相似比，根據相似三角形的周長的比等于相似比即可求解．

解答：解：（1）相似．
理由：∵D，E是PA，PB的中點，
∴DE=

1

2

AB，
∴

DE

AB

=

1

2

，
同理，

DF

AC

=

1

2

，

EF

BC

=

1

2

，
∴

DE

AB

=

DF

AC

=

EF

BC

=

1

2

，
∴△ABC∽△DEF；

（2）∵△ABC∽△DEF，且

DE

AB

=

DF

AC

=

EF

BC

=

1

2

，
∴△DEF的周長是：

1

2

×24=12．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，以及相似三角形的判定與性質，正確證明兩個三角形的對應邊的比相等是關鍵．