Question

在直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-2tx+t²-t（t＞0）與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B的左邊），直線l：y=kx經過拋物線的頂點C，與拋物線的另一個交點為D．
（1）求拋物線的頂點C的坐標（用含t的代數表示），并求出直線l 的解析式；
（2）如圖①，當t=

1

4

時，探究AC與BD的位置關系，并說明理由；
（3）當t≠1時，設△ABC的面積為S₁，△ABD的面積為S₂，用含t的代數式表示

S1

S2

的值．

Answer 1

分析：（1）先把拋物先的解析式化為頂點式的形式，求出其頂點坐標，再把其頂點坐標代入y=kx即可求出k的值，進而求出直線l的解析式；
（2）把t=

1

4

代入拋物線解析式y=（x-t）²-t中，得y=（x-

1

4

）²-

1

4

，令y=0即可求出A、B兩點的坐標，把此拋物線的解析式與直線l的解析式聯立可求出C、D兩點的坐標，再由tan∠DBA=tan∠CAB=

1

2

可得出∠DBA=∠CAB，由平行線的判定定理可知AC∥BD；
（3）由△ABC、△ABD同底可知

S1

S2

=|

yC

yD

|，把直線l與拋物線的解析式聯立求出x₁，x₂的值，代入直線解析式可得出y_C，y_D的值，進而可得出結論．

解答：解：（1）y=x²-2tx+t²-t=（x-t）²-t，
∴頂點C的坐標為（t，-t），
∵y=kx經過拋物線的頂點C，
∴將點C代入y=kx，即-t=kt，
∵t≠0，
∴k=-1，
∴直線l的解析式為y=-x；

（2）把t=

1

4

代入拋物線解析式y=（x-t）²-t中，得y=（x-

1

4

）²-

1

4

，令y=0，解得：x₁=

3

4

，x₂=-

1

4

，
∴A（-

1

4

，0）、B（

3

4

，0）
聯立方程

y=-x y=(x- 1 4 )2- 1 4

，解得：x₁=-

3

4

，x₂=

1

4

，
∴C（

1

4

，-

1

4

）、D（-

3

4

，

3

4

）
∴tan∠DBA=tan∠CAB=

1

2

，
∴∠DBA=∠CAB，
∴AC∥BD；

（3）∵△ABC、△ABD同底，
∴

S1

S2

=|

yC

yD

|
聯立方程

y=-x y=(x-t)2-t

，
解得x₁=t，x₂=t-1，
∴y_C=-t，y_D=1-t，
∴

S1

S2

=|

yC

yD

|=|

-t

1-t

|=

t 1-t (0＜t＜1) t t-1 (t＞1)

．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到三角形的面積公式、正比例函數的性質、平行線的判定定理，涉及面較廣，難度較大．