Question

如圖1，點A、B分別是兩條平行線m、n上任意兩點，在直線n上找一點C，使BC=kAB（k為常數），連接AC，在直線AC上任取一點E，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點F．
（1）請說明∠AFE=∠ABE的理由；
（2）當k=1時，探究線段EF與EB的數量關系，并加以說明；
（3）當k≠1時，探究線段EF與EB的比值，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵m∥n，
∴∠FAB=∠ABC，
∵∠FEB=∠ABC，
∴∠FAB=∠FEB，
∵∠AOF=∠EOB，
∴△AOF∽△EOB，
∴∠AFE=∠ABE；

（2）作ED⊥m，EP⊥AB，
∵k=1，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵m∥n，
∴∠DAE=∠ACB，
∴∠DAE=∠BAC，
∴ED=EP（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），
在△FDE和△EPB中，，
∴△FDE≌△EPB（AAS），
∴EF=EB（全等三角形對應邊相等）；

（3）連接FB，設AB與EF交于點O，
在△AOF和△EOB中，，
∴△AOF∽△EOB，
∴，
又∵∠AOE=∠FOB，
∴△AOE∽△FOB，
∴∠CAB=∠EFB，
∵∠FEB=∠ABC，
∴△ACB∽△FBE，
∴．
分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠FAB=∠ABC，∠BEF=∠ABC，所以可得到∠FAB=∠FEB，設AB、EF相交于點O，可以利用兩角對應相等兩三角形相似證明△AOF∽△EOB，然后根據相似三角形的對應角相等即可證明；
（2）過點E作ED⊥m，EP⊥AB，根據k=1可知AB=BC，再根據對邊對等角的性質∠BAC=∠ACB，又兩直線平行，內錯角相等，可以證明AE平分∠DAP，所以ED=EP，然后證明△FDE與△EPB全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明；
（3）連接FB．設AB與EF交于點O，利用（1）的結論先證明△AOF∽△EOB，根據相似三角形對應邊成比例得到，再根據兩邊對應成比例，夾角相等證明△ACB∽△FBE，再根據相似三角形對應邊成比例列出比例式即可得到線段EF、EB與線段AB、BC的關系．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，平行線的性質，綜合性較強，對同學們的圖形識別能力有較高的要求，難度較大．