Question

【題目】定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=2，MN=3，則BN=________；

（2）如圖2，在△ABC中，FG是中位線，點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE≥BD，連接AD，AE分別交FG于點M，N，求證：點M，N是線段FG的勾股分割點；

（3）如圖3，已知點M，N是線段AB的勾股分割點，MN＞AM≥BN，四邊形AMDC，四邊形MNFE和四邊形NBHG均是正方形，點P在邊EF上，試探究S△ACN ，S△APB ，S△MBH的數量關系．

S△ACN=________；S△MBH=________；S△APB=________；S△ACN ，S△APB，S△MBH的數量關系是________．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

試題（1）分類討論:當MN為最大線段時;當BN為最大線段時;即已知的兩條線段中較長的線段MN可能為斜邊或所求的BN也可能為斜邊；

（2）由已知“FG是中位線”得BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，由D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE＞BD得出EC2=DE2+DB2，再分別代換為2NG、2MN、2FM，約去系數4，即可得出結論；

（3）由三角形面積公式，分別表示出S△ACN、S△MBH、S△PAB，觀察3個式子中，出現的AM2、BN2 、MN2，可得S△APB=S△ACN+S△MBH.

試題解析：（1）分兩種情況：

①當MN為最大線段時，

∵點 M、N是線段AB的勾股分割點，

∴BN=；

②當BN為最大線段時，

∵點M、N是線段AB的勾股分割點，

∴BN=；

綜上所述：BN的長為或．

（2）∵點F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點，

∴FM、MN、NG分別是△ABD、△ADE、△AEC的中位線，

∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，

∵點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE＞BD，

∴EC2=DE2+DB2 ,

∴4NG2=4MN2+4FM2 ,

∴NG2=MN2+FM2 ,

∴點M，N是線段FG的勾股分割點；

⑶∵四邊形AMDC，四邊形MNFE和四邊形NBHG均是正方形，

∴S△ACN= （AM+MN）AC= （AM+MN）AM= AM2+ MNAM，

S△MBH= （MN+BN）BH= （MN+BN）BN= BN2+ MNBN，

S△PAB= （AM+NM+BN）FN= （AM+MN+BN）MN= MN2+ /span>MNAM+ MNBN，

∴S△APB=S△ACN+S△MBH ，

故答案為S△APB=S△ACN+S△MBH ．