Question

如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；

（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax²+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)

 

，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式

 

，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

 

．（本小題只需直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，可知3a=

2

，求出a，
（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，
（3）本問的拋物線解析式不止一個(gè)，求出其中一個(gè)．

解答：解：（1）∵正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．
當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸、點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，
∴AO=1，BO=1，
∴正方形ABCD的邊長為

2

（1分）
當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，得3a=

2

∴a=

1

3

2

（1分）
所以正方形邊長為

1

3

2

；（1分）

（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，

知△ADE≌△BAO≌△CBF（1分）
此時(shí)，m＜2，DE=OA=BF=m
OB=CF=AE=2-m
∴OF=BF+OB=2
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2-m，2）（1分）
∴2m=2（2-m）
解得m=1（1分）
反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；（1分）

（3）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
過C作CF⊥x軸，垂足為F，過D作DE⊥CF，垂足為E，
∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，
∵C（3，4），即CF=4，OF=3，
∴EG=3，DE=4，故DG=DE-GE=DE-OF=4-3=1，
則D坐標(biāo)為（-1，3）；設(shè)過D與C的拋物線的解析式為：y=ax²+b，
把D和C的坐標(biāo)代入得：

a+b=3 9a+b=4

，
解得

a= 1 8 b= 23 8

，
∴滿足題意的拋物線的解析式為y=

1

8

x²+

23

8

；
同理可得D的坐標(biāo)可以為：（7，-3）；（-4，7）；（4，1），（3分）
對(duì)應(yīng)的拋物線分別為y=-

7

40

x2+

223

40

；y=

3

7

x2+

1

7

；y=-

3

7

x2+

55

7

，（1分）
所求的任何拋物線的伴侶正方形個(gè)數(shù)為偶數(shù)．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，此題開放性很強(qiáng)，應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題比較簡單．