Question

【題目】如下圖。
（1）問題 如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°．求證： ．
（2）探究 如圖，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．
（3）應用 請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題
如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發，沿邊AB向點B運動，且滿足∠CPD=∠A．設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴

（2）解：結論 仍然成立．

理由：如圖2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．

∵∠DPC=∠A=∠B=θ，

∴∠BPC=∠ADP，

∴△ADP∽△BPC，

∴

（3）解：如圖3，

過點D作DE⊥AB于點E．

∵AD=BD=5，AB=6，

∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

∵以點D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC=DE=4，

∴BC=5﹣4=1．

又∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

∴∠DPC=∠A=∠B．

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC，∠DPC=∠A，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△APD∽△BCP，

∴ ，

∴ADBC=APBP；

∴5×1=t（6﹣t），

解得：t1=1，t2=5，

∴t的值為1秒或5秒

【解析】（1）如圖1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；（2）如圖2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E，根據等腰三角形的性質可得AE=BE=3，根據勾股定理可得DE=4，由題可得DC=DE=4，則有BC=5﹣4=1．易證∠DPC=∠A=∠B．根據ADBC=APBP，就可求出t的值．