Question

（2012•朝陽）某商家經銷一種綠茶，用于裝修門面已投資3000元，已知綠茶每千克成本50元，在第一個月的試銷時間內發現，銷量w（kg）隨銷售單價x（元/kg）的變化而變化，具體變化規律如下表所示

銷售單價x（元/kg）	…	70	75	80	85	90	…
銷售量w（kg）	…	100	90	80	70	60	…

設該綠茶的月銷售利潤為y（元）（銷售利潤=單價×銷售量-成本-投資）．
（1）請根據上表，寫出w與x之間的函數關系式（不必寫出自變量x的取值范圍）；
（2）求y與x之間的函數關系式（不必寫出自變量x的取值范圍）．并求出x為何值時，y的值最大？
（3）若在第一個月里，按使y獲得最大值的銷售單價進行銷售后，在第二個月里受物價部門干預，銷售單價不得高于90元，要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700元，那么第二個月里應該確定銷售單價為多少元？

Answer 1

分析：（1）利用表格中數據，設出解析式，進而求出一次函數關系式，整理即可；
（2）利用銷售利潤=單價×銷售量-成本列出函數關系式，利用配方法可求最值；
（3）首先根據第一個月的利潤，得出要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700元，即第二個月必須獲得2250元的利潤，把函數值2250代入，解一元二次方程即可．

解答：解：（1）設w=kx+b，
將（70，100），（75，90）代入上式得：

70k+b=100 75k+b=90

，
解得：

k=-2 b=240

，
則w=-2x+240；

（2）y=（x-50）•w-3000=（x-50）•（-2x+240）-3000=-2x²+340x-12000，
因此y與x的關系式為：
y=-2x²+340x-12000，
=-2（x-85）²+2450，
故當x=85時，y的值最大為2450．

（3）故第1個月還有3000-2450=550元的投資成本沒有收回，
則要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700元，即y=2250才可以，
可得方程-2（x-85）²+2450=2250，
解這個方程，得x₁=75，x₂=95；
根據題意，x₂=95不合題意應舍去．
答：當銷售單價為每千克75元時，可獲得銷售利潤2250元，即在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700元．

點評：此題考查了待定系數法求一次函數解析式以及二次函數的最值以及二次函數與一元二次方程的關系等知識，注意題目中細節描述得出要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700元，即y=2250進而求出是解題關鍵．