Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，△為等邊三角形，O為坐標原點，點A關于y軸的對稱點為D，連接AD，BD，OD，其中AD，BD分別交y軸于點E，P.

（1）如圖1，若點B在x軸的負半軸上時，直接寫出的度數；

（2）如圖2，將△繞點O旋轉，且點A始終在第二象限，此時AO與y軸正半軸夾角為，60<<90，依題意補全圖形，并求出的度數；（用含的式子表示）

（3）在第（2）問的條件下，用等式表示線段BP，PE，PO之間的數量關系.（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）作圖見解析，∠BDO=α-60°；（3）2PE=BP+PO．

【解析】

（1）根據軸對稱的性質和等邊三角形的性質即可得出結論；

（2）由軸對稱的性質和等邊三角形的性質得出∠BOD=300°﹣2α．在△BOD中根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出結論；

（3）過A作AQ∥EP交DB的延長線于Q，連接AP．由（2）得：∠OBD=∠BDO=α﹣60°．

通過證明△AOP≌△ABQ，得到AP=AQ，OP=QB，∠OAP=∠BAQ，BP+OP=BP+QB=QP．

通過證明△AQP是等邊三角形，得出AQ=PQ=AP=BP+OP，∠QAP=60°，即可得到∠PAE=30°，由30°角所對直角邊等于斜邊的一半即可得到AP=2EP，從而得到結論．

（1）30°．理由如下：

∵A與D關于y軸對稱，∴y軸是線段AD的垂直平分線，∴AO=DO，∠AOE=∠DOE．

∵△ABO是等邊三角形，∴AB=BO=AO，∠AOB=60°，∴∠AOE=30°，∴∠DOE=30°，∴∠BOD=60°+30°+30°=120°．

∵BO=AO=DO，∴∠BDO=∠OBD=(180°﹣∠BOD)=30°．

（2）正確畫出圖形．

∵∠AOE=∠DOE=α，∠AOB=60°，∴∠BOD=360°﹣2α﹣60°=300°﹣2α．

∵BO=BD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠BDO=(180°﹣∠BOD)=α﹣60°．

（3）2PE=BP+PO．理由如下：

過A作AQ∥EP交DB的延長線于Q，連接AP．由（2）得：∠OBD=∠BDO=α﹣60°．

∵△ABO是等邊三角形，∴AB=BO=AO，∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，∴∠ABQ=180°﹣60°﹣∠OBD=120°﹣（α﹣60°）=180°﹣α．

∵∠AOE=α，∴∠AOP=180°﹣α，∴∠AOP=∠ABQ．

∵AQ∥EP，∴∠Q=∠EPD．

∵∠APE=∠DPE，∴∠APO=∠Q．

在△AOP和△ABQ中，∵∠AOP=∠ABQ，∠APO=∠Q，AO=AB，∴△AOP≌△ABQ，∴AP=AQ，OP=QB，∠OAP=∠BAQ，∴BP+OP=BP+QB=QP．

∵∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°，∴∠BAP+∠BAQ=∠PAQ=60°．

∵AQ=AP，∴△AQP是等邊三角形，∴AQ=PQ=AP=BP+OP．

∵AQ∥EP，∴∠APE=∠QAP=60°．

∵∠AEP=90°，∴∠PAE=30°，∴AP=2EP，∴2EP=BP+OP．