Question

【題目】根據問題填空：
（1）問題發現：
如圖①，在等邊三角形ABC中，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關系為；

（2）深入探究：
如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由；

（3）拓展延伸：
如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作正方形AMEF，點N為正方形AMEF的中點，連接CN，若BC=10，CN= ，試求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）NC∥AB
（2）解：∠ABC=∠ACN，理由如下：

∵ =1且∠ABC=∠AMN，

∴△ABC～△AMN

∴ ，

∵AB=BC，

∴∠BAC= （180°﹣∠ABC），

∵AM=MN

∴∠MAN= （180°﹣∠AMN），

∵∠ABC=∠AMN，

∴∠BAC=∠MAN，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴∠ABC=∠ACN；

（3）解：如圖3，連接AB，AN，

∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM=∠CAN，

∵ = ，

∴ ，

∴△ABM～△ACN

∴ ，

∴ =cos45°= ，

∴ = ，

∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，

在Rt△AMC，

AM= = =2 ，

∴EF=AM=2 ．

【解析】解：（1）NC∥AB，理由如下：

∵△ABC與△MN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM與△ACN中， ，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠B=∠ACN=60°，

∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，

∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，

∴CN∥AB；

所以答案是：CN∥AB；

【考點精析】掌握全等三角形的性質和相似三角形的性質是解答本題的根本，需要知道全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．