Question

【題目】如圖，已知拋物線y=（x+2）（x﹣4）與x軸交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）設動點N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小時n的值；

（3）P是拋物線上一點，請你探究：是否存在點P，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C（0，﹣）　　（2）﹣　　（3）（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）

【解析】（1）令y=0可求得點A、點B的橫坐標，令x=0可求得點C的縱坐標；

（2）根據兩點之間線段最短作M點關于直線x=﹣2的對稱點M′，當N（﹣2，N）在直線M′B上時，MN+BN的值最小；

（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據相似三角形的性質求得PB的長度，然后可求得點P的坐標．

解：（1）令y=0得x1=﹣2，x2=4，

∴點A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣，

∴點C（0，﹣）

（2）將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣

∴點M的坐標為（1，﹣）

∴點M關于直線x=﹣2的對稱點M′的坐標為（﹣5，）

設直線M′B的解析式為y=kx+b

將點M′、B的坐標代入得：

解得：

所以直線M′B的解析式為y=×．

將x=﹣2代入得：y=﹣，

所以n=﹣．

（3）過點D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：

AD===3，

BD===，

如下圖，①當P1AB∽△ADB時，

=即：=，

∴P1B=6

過點P1作P1M1⊥AB，垂足為M1．

∴=即：=

解得：P1M1=6，

∵=即：=

解得：BM1=12

∴點P1的坐標為（﹣8，6）

∵點P1不在拋物線上，所以此種情況不存在；

②當△P2AB∽△BDA時，=即：=

∴P2B=6，

過點P2作P2M2⊥AB，垂足為M2．

∴=，即：=

∴P2M2=2，

∵=，即：=

∴M2B=8

∴點P2的坐標為（﹣4，2）

將x=﹣4代入拋物線的解析式得：y=2，

∴點P2在拋物線上．

由拋物線的對稱性可知：點P2與點P4關于直線x=1對稱，

∴P4的坐標為（6，2），

當點P3位于點C處時，兩三角形全等，所以點P3的坐標為（0，﹣），

綜上所述點P的坐標為：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）時，以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似．

“點睛”本題綜合考查了二次函數、一次函數、軸對稱…路徑最短、相似三角形的性質，難度較大，利用相似三角形的性質求得PB的長是解題的關鍵，解答本題需要注意的是在不確定相似三角形的對應角和對應邊的情況下分類討論，不要漏解.