Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；
（2）證明四邊形ADCF是菱形；
（3）若AC=3，AB=4，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，
∴AD=DC= BC，
∴四邊形ADCF是菱形
（3）解：連接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF=AB=4，
∵四邊形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF= ACDF= ×3×4=6．
【解析】（1）根據平行線的性質證明∠AFE=∠DBE，再根據中點的定義及三角形中線的定義證明AE=DE，BD=CD，然后利用三角形全等的判定定理證明△AEF≌△DEB即可。
（2）根據（1）的結論及已知先證四邊形ADCF是平行四邊形，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明AD=DC，然后根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證得結論。
（3）連接DF，易證四邊形ABDF是平行四邊形，就可求出DF的長，再根據菱形的面積等于兩對角線之積的一半，求得菱形的面積即可。