Question

【題目】如果一個自然數從高位到個位是由一個數字或幾個數字重復出現組成的，那么我們把這樣的自然數叫做循環數，重復的一個或幾個數字稱為“循環節”，我們把“循環節”的數字個數叫做循環節的階數．例如：525252，它由“52”依次重復出現組成，所以525252是循環數，它是2階6位循環數．再如：77，是1階2位循環數，135135135是3階9位循環數．

（1）請直接寫出1個2階4位循環數　 　，并證明對于任意一個2階4位循環數，若交換其循環節的數字得到一個新的4位數，則該新數和原數的差能夠被9整除．

（2）已知一個能被9整除的2階4位數．設循環節為ab，且滿足a﹣2b為非負偶數，求這個4位循環數．

Answer 1

【答案】（1）7171，證明見解析；（2）這個4位循環數為6363或8181．

【解析】

（1）根據循環節”的數字個數叫做循環節的階數，可得答案；

（2）根據一個能被9整除的2階4位循環數，可得能被9整除，即（a+b）能被9整除，得到a+b=9或a+b=18，根據a﹣2b為非負偶數，分類討論可得答案．

（1）7171是2階4位循環數；

證明：設原數為，新數為即原數1000a+100b+10a+b，新數是1000b+100a+10b+a，

1000b+100a+10b+a﹣（1000a+100b+10a+b）

=909b﹣909a

=909（b﹣a）

=9×101（b﹣a）．

∵a，b為整數，

∴b﹣a也為整數，

∴新數和原數的差能夠被9整除．

故答案為：7171．

（2）該2階4位循環數為，

即112a+11b，

要使得1010a+101b能被9整除，則需（a+b）能被9整除．

∵0＜a≤9，0＜b≤9，

∴0＜a+b≤18，

∴a，b應滿足的關系是a+b=9或a+b=18．

①當a+b=9，即a=9-b時，

又∵a﹣2b為非負偶數，

∴9-b-2b≥0，

∴b≤3．

∵b為正整數，

∴b=1，2，3．

當b=1時，a=8，a-2b=8-2=6是非負偶數，滿足條件；

當b=2時，a=7，a-2b=7-4=3不是非負偶數，不滿足條件；

當b=3時，a=6，a-2b=6-6=0是非負偶數，滿足條件；

∴這個4位循環數為8181或6363．

②當a+b=18，即a=18-b時，a=b=9，此時a-2b=-9不是非負偶數，不滿足條件．

綜上所述：這個4位循環數為6363或8181．