Question

如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DE∥BC，如圖①，然后將△ADE繞A點順時針旋轉一定角度，得到圖②，然后將BD、CE分別延長至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到圖③，請解答下列問題：

(1)若AB＝AC，請探究下列數量關系：

①在圖②中，BD與CE的數量關系是________________；

②在圖③中，猜想AM與AN的數量關系、∠MAN與∠BAC的數量關系，并證明你的猜想；

(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到圖④，請繼續探究：AM與AN的數量關系、∠MAN與∠BAC的數量關系，直接寫出你的猜想，不必證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）①BD=CE； 

②AM=AN，∠MAN=∠BAC  理由如下：

∵在圖①中，DE//BC，AB=AC

∴AD=AE.

在△ABD與△ACE中∴△ABD≌△ACE.

∴BD=CE，∠ACE=∠ABD.

在△DAM與△EAN中，

∵DM=BD，EN=CE，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，∠ADM=∠ABD+∠BAD，∴∠AEN=∠ADM.

又∵AE=AD，∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN，∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.

∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.            

（2）AM=kAN，∠MAN=∠BAC.

【解析】（1）①根據題意和旋轉的性質可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；

②根據題意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，

DM=BD，EN=CE，可證△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．

（2）直接類比（1）中結果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．