Question

【題目】如圖1，對于平面內的點P和兩條曲線、給出如下定義：若從點P任意引出一條射線分別與、交于、，總有是定值，我們稱曲線與“曲似”，定值為“曲似比”，點P為“曲心”．

例如：如圖2，以點為圓心，半徑分別為、都是常數的兩個同心圓、，從點任意引出一條射線分別與兩圓交于點M、N，因為總有是定值，所以同心圓與曲似，曲似比為，“曲心”為．

在平面直角坐標系xOy中，直線與拋物線、分別交于點A、B，如圖3所示，試判斷兩拋物線是否曲似，并說明理由；

在的條件下，以O為圓心，OA為半徑作圓，過點B作x軸的垂線，垂足為C，是否存在k值，使與直線BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；

在、的條件下，若將“”改為“”，其他條件不變，當存在與直線BC相切時，直接寫出m的取值范圍及k與m之間的關系式．

Answer 1

【答案】（1）兩拋物線曲似，理由詳見解析；（2）存在k值，使與直線BC相切，；（3），．

【解析】

過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、C，根據題意可得、、、，由知，據此可可解答；假設存在k值，使與直線BC相切，據此知，根據及對稱性可得答案；同理可得、、、，由切線性質知，根據可得m的范圍，由可得k與m之間的關系式．

是，

過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、C，

依題意可得、，

因此、，

軸、軸，

，

，

兩拋物線曲似，曲似比為；

假設存在k值，使與直線BC相切，

則，

又、，并且，

，

解得：負值舍去，

由對稱性可取，

綜上，；

根據題意得、，

因此、，

與直線BC相切，

，

由可得，

則，

由、，并且，

，

整理，得：．