Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+2交x軸于點A，交y軸于點B．

（1）求∠OAB的度數；

（2）點M是直線y=﹣x+2上的一個動點，且⊙M的半徑為2，圓心為M，判斷原點O與⊙M的位置關系，并說明理由；

（3）當⊙M與y軸相切時，直接寫出切點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）點O在圓M外，理由見解析；（3）（0，）或（0，）

【解析】

（1）分別求出A與B的坐標，求出OA與OB的長，利用直角三角形性質判斷即可；

（2）求出點O與圓心M的距離，與半徑比較大小即可；

（3）分M在第一象限與第二象限兩種情況，利用切線的性質及直角三角形的性質確定出切點坐標即可．

解：（1）直線y=﹣x+2，

令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=6，

∴OA=6，OB=2，

在Rt△AOB中，tan∠OAB==，

則∠OAB=30°；

（2）點O在圓M外，理由為：

當OM⊥AB時，點M距離點O最近，此時OM=3，

∵3＞2，

∴點O在圓M外；

（3）當點M在第一象限時，設此時圓M與y軸相切于點N，可得MN=2，

∵∠BMN=∠BAO=30°，

∴設BN=x，則有BM=2x，

根據勾股定理得：x2+22=（2x）2，

解得：x=，即ON=OB﹣BN=2﹣=，

此時N坐標為（0，）；

當點M在第二象限時，設此時圓M′與y軸相切于點N′，同理可得BN＝′，

此時ON′=OB+BN′=，N坐標為（0，），

綜上，圓M與y軸相切時，切點坐標為（0，）或（0，）．