Question

【題目】在△ABC中，∠B＝60°，D、E分別為AB、BC上的點，且AE、CD交于點F．

（1）如圖1，若AE、CD為△ABC的角平分線：

①求∠AFD的度數；

②若AD＝3，CE＝2，求AC的長；

（2）如圖2，若∠EAC＝∠DCA＝30°，求證：AD＝CE．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②5；（2）詳見解析.

【解析】

（1）①根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算；

②在AC上截取AG＝AD＝3，連接FG，證明△ADF≌△AGF、△CGF≌△CEF，根據全等三角形的性質解答；

（2）在AE上截取FH＝FD，連接CH，證明△ADF≌△CHF，根據全等三角形的性質、三角形的外角的性質解答．

解：（1）①∵AE、CD分別為△ABC的角平分線，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，

∵∠B＝60°

∴∠BAC+∠BCA＝120°，

∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180﹣（∠BAC+∠BCA）＝120°

∴∠AFD=180°-∠AFC=60°；

②在AC上截取AG＝AD＝3，連接FG，

∵AE、CD分別為△ABC的角平分線，

∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE，

∵∠AFC＝120°，

∴∠AFD＝∠CFE＝60°，

在△ADF和△AGF中，

∵，

∴△ADF≌△AGF（SAS），

∴∠AFD＝∠AFG＝60°，

∴∠GFC＝∠CFE＝60°，

在△CGF和△CEF中，

∵，

∴△CGF≌△CEF（ASA），

∴CG＝CE＝2，

∴AC＝5；

（2）在AE上截取FH＝FD，連接CH，

∵∠FAC＝∠FCA＝30°，

∴FA＝FC，

在△ADF和△CHF中，

∵，

∴△ADF≌△CHF（SAS），

∴AD＝CH，∠DAF＝∠HCF，

∵∠CEH＝∠B+∠DAF＝60°+∠DAF，

∠CHE＝∠HAC+∠HCA＝60°+∠HCF，

∴∠CEH＝∠CHE，

∴CH＝CE，

∴AD＝CE．