Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點P(不與A、B重合)，連結DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，設AP=x．

⑴當x為何值時，△APD是等腰三角形?
⑵若設BE=y，求y關于x的函數關系式；
⑶若BC的長可以變化，在現在的條件下，是否存在點P，使得PQ經過點C?若存在，求出相應的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出當BC的長在什么范圍內時，可以存在這樣的點P，使得PQ經過點C．

Answer 1

．

試題分析：（1）過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP為等腰三角形，則分三種情況：①當AP=AD時，x=AP=AD，②當AD=PD時，有AH=PH，故x=AH+PH，③當AP=PD時，則在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
（2）易證：△DPH∽△PEB?，即，故可求得y與x的關系式．
（3）利用△DPH∽△PEB，得出，進而利用根的判別式和一元二次不等式解集得出即可．
試題解析：（1）過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x﹣2，
情況①：當AP=AD時，即x=2．
情況②：當AD=PD時，則AH=PH．
∴2=x﹣2，解得x=4．
情況③：當AP=PD時，
則Rt△DPH中，x²=4²+（x﹣2）²，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴當x為2、4、5時，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，
∴．
整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x²+x﹣4；
（3）存在．
設BC=a，則由（2）得△DPH∽△PEB，
∴，
∴y=，
當y=a時，
（8﹣x）（x﹣2）=a²
x²﹣10x+（16+a²）=0，
∴△=100﹣4（16+a²），
∵△≥0，
∴100﹣64﹣4a²≥0，
4a²≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴滿足0＜BC≤3時，存在點P，使得PQ經過C．