Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，連接AC，AD=2CD，點E在AD邊上．

（1）如圖1，若∠ECD=30°，CE=4，求△AEC的面積；

（2）如圖2，延長BA至點F使得AF=2CD，連接FE并延長交CD于點G，過點D作DH⊥EG于點H，連接AH，求證：FH=AH+DH；

（3）如圖3，將線段AE繞點A旋轉一定的角度α（0°＜α＜360°）得到線段AE′，連接CE′，點N始終為CE′的中點，連接DN，已知CD=AE=4，直接寫出DN的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）12﹣2；（2）證明見解析（3）2＜DN≤2

【解析】

試題分析：（1）根據30°的直角三角形求CD和ED，再利用面積公式求△AEC的面積；

（2）作輔助線，構建全等三角形，證明△AFM≌△ADH，得AM=AH，FM=DH，則△MAH是等腰直角三角形，有MH=AH，根據線段的和代入得結論；

（3）根據將線段AE繞點A旋轉一定的角度α（0°＜α＜30°）得到線段AE′，先計算當AE旋轉時DN的最小值和最大值，當α=0°時，DN最小；當α=180°時，DN最大，分別計算，寫出結論．

試題解析：（1）在Rt△EDC中，∵∠EDC=30°，

∴ED=EC=×4=2，cos30°=，

∴DC=ECcos30°=4×=2，

∴AE=2DC﹣ED=4﹣2，

∴=×AE×DC=（4﹣2）×2=12﹣2；

（2）過A作AM⊥AH，交FG于M，

∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°，

又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°，

∴∠FAM=∠DAH，

∵AF∥CD，

∴∠F=∠FGD

∵DH⊥EG，

∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°，

∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°，

∴∠FGD=∠EDH，

∴∠F=∠EDH，

又∵AF=2CD，AD=2CD，

∴AF=AD，

∴△AFM≌△ADH，

∴AM=AH，FM=DH，

∴△MAH是等腰直角三角形，

∴MH=AH，

∵FH=MH+FM，

∴FH=AH+DH；

（3）∵線段AE繞點A旋轉一定的角度α（0°＜α＜306°）得到線段AE′，

∴E′的運動軌跡是一個以點A為圓心半徑為4的圓，

當α=0°時，點E′在AD中點，如圖3，

∵四邊形ABCD為矩形，CD=AE=4，AD=2CD，

∴∠CDE′=90°，DE′=CD=4，

∴△CDE′是等腰三角形，

又∵N是CE′的中點，

∴CE′⊥DN，

此時DN的值最小為2；

當α=180°時，E′在AD的延長線上，DN最長，

過N作CD垂線交CD于點M，

∵DE′=AE′+AD=12，CD=4，

∵MN⊥DC，DE′⊥DC，

∴MN∥DE′，

∴△CDE′∽△CMN，

∴=，

∴MN=6，

則CM=DM=2，

∴在Rt△DMN中，DN==2，

∵0°＜α＜360°

∴2＜DN≤2．