Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，G、F分別為AD、BC的中點，將紙片折疊，使D點落在GF上，得到△HAE ， 再過H點折疊紙片，使B點落在直線AB上，折痕為PQ.連接AF、EF ， 已知HE＝HF.下列結論：①△MEH為等邊三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④ ，

其中正確的結論是
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由折疊易得AH=AD，∠DAE=HAE，
∠AHE=∠D=90°，PQ=BC=AD，PQ⊥AB，
因為G，F分別為AD、BC的中點，
所以H也是PQ的中點，
則在Rt△AHQ中，AH=2HQ，則∠HAQ=30°，
所以∠DAE=HAE=∠HAQ=30°，
則∠AEH=60°，∠AHM=∠HAQ=30°，
所以∠EMH=∠AEH=60°，
則△MEH為等邊三角形，故①正確；
②由①得MH=EH=HF，則△MEF為直角三角形，即AE⊥EF ， 故②正確；
③在Rt△AHE中，=sin30°=，
同理，在Rt△AHQ中，=sin30°=，
則==，
又∠AHE=∠HPE=90°，
∴△PHE∽△HAE ， 故③正確；
④設AD=x，則AH=x，BQ=HF=HE=x，AQ=AH=x，
則AB=AQ+BQ=x，
所以==，
故④正確.
故選 D.
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．