Question

【題目】已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足．下列結論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正確的是（　 　）

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據SAS證△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，結合∠BCD＝∠BDC可得①②正確；根據角的和差以及三角形外角的性質可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正確；過E作EG⊥BC于G點，證明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用線段和差即可得到④正確．

解：①∵BD為△ABC的角平分線，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴在△ABD和△EBC中，，

∴△ABD≌△EBC（SAS），①正確；

②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE＝∠BDA，

∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正確；

③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，

∴∠DCE＝∠DAE，

∴△ACE為等腰三角形，

∴AE＝EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD＝EC，

∴AD＝AE＝EC．③正確；

④過E作EG⊥BC于G點，

∵E是∠ABC的角平分線BD上的點，且EF⊥AB，

∴EF＝EG（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），

∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，

∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），

∴BG＝BF，

∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，

∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），

∴AF＝CG，

∴BA＋BC＝BF＋FA＋BGCG＝BF＋BG＝2BF，④正確．

故選D．