Question

【題目】已知，如圖，△ABC中，∠C=90°，E為BC邊中點．

（1）尺規作圖：以AC邊為直徑，作⊙O，交AB于點D（保留作圖痕跡，標上相應的字母，可不寫作法）；

（2）連結DE，求證：DE為⊙O的切線；

（3）若AD=4，BD=,求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）作AC的垂直平分線，垂足為O，然后以O點為圓心，OA為半徑作圓即可；

（2）如圖2，連結OD，CD，根據圓周角定理得到∠ADC=90°，再根據斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=EC=BE，則利用等腰三角形的性質得∠1=∠2，加上∠3=∠4，則∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是可根據切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線；

（3）證明Rt△BDC∽Rt△BCA，利用相似比計算出BC=，然后利用斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到DE的長．

試題解析：（1）解：如圖1，

（2）證明：如圖2，連結OD，CD，

∵AC邊為直徑，

∴∠ADC=90°，

而E為BC邊中點，

∴DE為Rt△BDC斜邊BC上的中線，

∴DE=EC=BE，

∴∠1=∠2，

∵OC=OD，

∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（3）解：∵∠DBC=∠CBA，

∴Rt△BDC∽Rt△BCA，

∴BC：AB=BD：BC，即BC：（4+）=：BC，

∴BC=，

∴DE=BC=

．