Question

【題目】如圖1，、兩點的坐標分別為，，且滿足，的坐標為

（1）判斷的形狀.

（2）動點從點出發，以個單位/的速度在線段上運動，另一動點從點出發，以個單位/的速度在射線上運動，運動時間為.

①如圖2，若，直線交軸于，當時，求的值.

②如圖3，若，當運動到中點時，為上一點，連，作交于.試探究和的數量關系，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）為等腰三角形；（2）①6.5s；②AM=CN，證明見解析.

【解析】

（1）作CD⊥AB于D，根據非負數的性質求出a、b的值，根據A、B、C的坐標可得AD=DB，根據線段垂直平分線的性質即可得為等腰三角形；

（2）①作PE∥BC交AB于E，證明△PEH≌△QBH，則PE=BQ，根據等腰三角形及平行線的性質∠PEA=∠PAE，得出PA=BQ，根據線段的相等關系列出關于t的方程，解方程即可；

②延長CM交AB于F，先由點C、M的坐標得出CM⊥AB，根據坐標求出AF=CF=BF，推出∠ACB=90°，可求得∠CAB=∠ABC=∠ACF=45°，證出△BCN≌△CAM即可得出結論.

解：（1）作CD⊥AB于D，

∵，

∴a+2=0，b-8=0，

∴a=-2，b=8，

∵的坐標為，

∴OD=3，

∴AD=BD=5，

∴CD為線段AB的垂直平分線，

∴AC=BC，

∴為等腰三角形；

（2）①作PE∥BC交AB于E，

∵PE∥BC，

∴∠EPH=∠BQH，∠PEA=∠ABC，

又∵，∠EHP=∠BHQ，

∴△PEH≌△QBH，

∴PE=BQ，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠ABC，

∴∠CAB=∠PEA，

∴PA=PE，

∴PA=BQ，

由題意得：PA=t，CQ=3t，，

∴t=3t-13，解得：t=6.5s；

②AM=CN

證明：延長CM交AB于F，

∵C（3,5），

∴CM⊥AB，M（3,0），CF=5，

∵A（-2,0），B（8,0），

∴AF=CF=BF，

∴∠CAF=∠ACF，∠BCF=∠CBF，

∴∠ACB=90°，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠ABC=∠ACF=45°，

∵，∠ACB=90°，

∴∠CQA+∠BCN=∠CQA+∠CAM，

∴∠BCN=∠CAM，

在△BCN和△CAM中

∴△BCN≌△CAM，

∴AM=CN.