Question

【題目】如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F.

（1）求證：DF=CF.

（2）若∠AOB=60，請你探究OE，EF之間有什么數量關系？并證明你的結論。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OE=4EF，理由見解析.

【解析】

（1）先根據E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性質即可得出OE是CD的垂直平分線，即可得到DF=CF；

（2）先根據E是∠AOB的平分線，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性質可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出結論．

解：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE=CE，OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，

∴△DOC是等腰三角形，

∵OE是∠AOB的平分線，

∴OE是CD的垂直平分線，

∴DF=CF；

（2）OE=4EF；

理由：∵OE是∠AOB的平分線，∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵EC⊥OB，ED⊥OA，

∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF.