Question

【題目】我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．

（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；

（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形EFGH是菱形；（3）四邊形EFGH是正方形.

【解析】分析：（1）如圖1中，連接BD，根據三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．
（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據平行線的性質即可證明．

詳解：（1）如圖1，連接BD，

∵點E、H分別為邊AB、AD的中點，

∴EH∥BD、EH=BD，

∵點F、G分別為BC、DC的中點，

∴FG∥BD、FG=BD，

∴EH=FG、EH∥FG，

∴中點四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）四邊形EFGH是菱形，

如圖2，連接AC、BD，

∵∠APB=∠CPD，

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，

在△APC和△BPD中，

AP=BP，∠APC=∠BPD，PC=PD，

∴△APC≌△BPD（SAS），

∴AC=BD，

∵點E、F、G分別為AB、BC、CD的中點，

∴EF=AC、FG=BD，

∴EF=FG，

∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是菱形；

（3）四邊形EFGH是正方形，

設AC、BD交點為O，AC與PD交于點M，AC與EH交于點N，

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP=∠BDP，

∵∠DMO=∠CMP，

∴∠COD=∠CPD=90°，

∵EH∥BD、AC∥HG，

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴四邊形EFGH是正方形．