Question

（本題10分）.如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．

【小題1】（1）求證：DE平分∠BDC；
【小題2】（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．

Answer 1

【小題1】（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15^o，
∴∠BAD=∠ABD=45^o﹣15^o=30^o，
∴BD=AD，
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45^o．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30^o+30^o=60^o，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15^o+45^o=60^o，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；
【小題2】（2）如圖，連接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°﹣∠DMC=180°﹣60°=120°，
∠ADC=180°﹣∠MDC=180°﹣60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC，
∴ME=AD=DB．

解析