Question

如圖，已知：AB為⊙O的弦（非直徑），E為AB的中點，EO的延長線與⊙O相交于C，CM∥AB，BO的延長線與⊙O相交于F，與CM相交于D．
①求證：EC⊥CD；
②當EO：OC=1：3，CD=4時，求⊙O的半徑．

Answer 1

①證明：E為弦AB（非直徑）的中點，O為圓心，
∴∠OEB=90°，
∵∠ECD=∠OEB=90°，
即EC⊥CD；

②解：∵CD∥AB，EO：OC=1：3，
∴，
設OC=BO=x，則OD=3x，又CD=4，
在Rt△OCD中，由OC²+CD²=OD²，x²+4²=（3x）²，
解得：x₁=，x₂=-（舍去），
∴BO=，
即⊙O的半徑為．
分析：①根據垂徑定理不難得出OE⊥AB．又有AB∥CM，由此便可證得；
②AB∥CD，不難得出EO：OC=1：3；然后用半徑分別表示出OC，OD，CD，根據勾股定理來求出半徑的值．
點評：本題主要考查了在圓內對垂徑定理和勾股定理的綜合運用．