Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點。

（1）求拋物線的解析式。
（2）求△ABC的面積。若P是拋物線上一點（異于點C），且滿足△ABP的面積等于△ABC的面積，求滿足條件的點P的坐標。
（3）點M是線段BC上的點（不與B ， C重合），過M作MN∥ 軸交拋物線于N ， 若點M的橫坐標為 ，請用含 的代數式表示線段MN的長。
（4）在（3）的條件下，連接NB、NC ， 則是否存在點M，使△BNC的面積最大？若存在，求 的值，并求出△BNC面積的最大值。若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知條件可設拋物線解析式為 ，

∵點C（0,3）在拋物線上.

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為 .

（2）解：∵點A、B、C的坐標分別為：A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴AB=4，OC=3

∴ S△ABC= ，

設點P的坐標為 ，

∵ S△ABP= S△ABC=6，

∴點P縱坐標的絕對值等于OC的長，即：

當－x2+2x+3.=3時，解得

∴P（0,3）（舍）， P（2,3）

當－x2+2x+3.=-3時，解得

∴P（ ,-3）， P（ ,-3）

∴滿足條件的點P的坐標為（2,3）（ ,-3）（ ,-3）

（3）解：如圖1，設MN交x軸于點D，

∵MN∥y軸，點M橫坐標為m,

∴N的橫坐標為m, D（m,0)

∵點N在拋物線上

∴點N的坐標為N( m, －m2+2m+3),

設直線BC解析式為y=kx+b,

∴ 解得

∴直線BC的解析式為y= －x+3.

∵點M在直線BC上,

∴點M（m, －m+3)

∴MN=DN－DM=(－m2+2m+3)－(－m+3)=－m2+3m

（4）解：存在.如2，連接BN、CN

設△BNC的面積為S，則

∵ ，且 ，

∴ 時，△BNC的面積最大，最大面積為 .

【解析】（1）根據已知點的特點，設二次函數解析式為交點式，再將點C的坐標代入即可求出函數解析式。
（2）先根據點A、B、C的坐標分別求出AB、OC的長，再根據三角形的面積公式即可求得結果；根據已知△ABP的面積等于△ABC的面積，而AB=4, S△ABC= 6 ,可求出△ABP的AB邊上的高為3，即點P的縱坐標的絕對值等于3，設點P的坐標，根據點P的縱坐標=±3，建立方程，求解即可求出點P的坐標。
（3）根據已知MN∥y軸，交拋物線與N，根據點M的橫坐標表示出點N的坐標，點D的坐標，再求出直線BC的函數解析式，就可表示出點M的坐標，然后用含m的代數式分別表示出DN、DM的長，即可求出MN關于m的函數解析式。
（4）連接BN、CN，根據△BNC的面積=△BMN的面積+△MNC的面積，△BMN和△MNC有公共的底邊，兩三角形的高之和為OB的長，可建立s與m的函數解析式，求出頂點坐標，即可得出結論。
【考點精析】利用二次函數圖象的平移和二次函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．